久々に新しい問題を出してみよう。
この問題は、かなり難問だ。なぜなら、二次関数、運動方程式、重力加速度、摩擦などの知識を総合して解答しなければならないからだ。
とはいえ、類似問題が、過去にゲーム会社の入社試験で出されているから、最悪の場合にはこのくらいの問題を解かなければならないことは覚悟しておくべきだろう。
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二次関数を、重力加速度と絡めた問題は、数学と物理の両方の能力を見ることができる便利な問題だ。このため、ゲーム会社としても、使いやすい。
だが、等加速度運動（同じ加速度がずっとかかっている運動、その代表が重力加速度運動だ）の問題は、実は最も簡単な問題でもある。なぜなら、その問題を解くのに必要な知識が、たった二つの運動方程式しかないからだ。
x = x
0 + v
0t+0.5at
2 v = v
0 + at
上の二つの式、これしか使う必要がないのだ。それぞれの文字の意味は、以下のようになっている。
x : 現在の座標(m)
x
0 :時刻0秒のときの座標(m)
v : 現在の速度(m/s)
v
0 : 時刻0秒のときの速度(m/s)
a : 等加速度(m/s
2)
t : 現在の時刻(s)
見れば判るが、添え字0の付いているデータは「時刻0秒のときの」もので、付いていないものは「現在の」ものだ。
物理の問題の便利なところは、それぞれに単位が付いていることだ。
それって面倒じゃないのかって。いいや違う。単位が付いていると言うことは、
どのデータをどこに入れればよいか決まっているという、問題を解く人間にとって素晴らしいことなのだ。
つまり、xとx
0には座標データしか入れることはできない。そして、この問題に出てくる座標データは、20mと（地上にあるということから）0mの二つしかないのだ。この二つとも、時刻0秒のときのデータなので、x
0に入れるべきデータだ。
なぜ、同じx
0に入れるデータが2つあるのかというと、物体が2つあるからだ。別々の物体が動いてるのだから、別の式ができるのは、納得できるだろう。つまり、この問題では、運動方程式は、物体Aのものと、Bのものの2つ作られる。
同様に、vとv
0には、速度データしか入れることはできない。そして、この問題に出てくる速度データは30 m/sと（そっと手を離すということは最初は停止しているということなので）0 m/sの二つしかない。
加速度はといえば、－10 m/s
2（下向きなので－を付けた）だけだ。
ここまで書けば、運動方程式は作ることができるだろう。まず、物体Aからいこう。
x = 0 + 30t - 5t
2 v = 30 - 10t
次に、物体Bだ。
x = 20 + 0t -5t
2 v = 0 - 10t
さて、問題を読むと、物体Aが地面に着地するのが何時なのか知りたいはずだ。ということは、xが0になる時刻tを求めればよい。
0 = 0 + 30t -5t
2 これを解けば、t = 0 , 6 となる。t = 0というのは、ボールを投げる瞬間のことだ。確かにそのときも座標xは0だろうが、今求めたい着地の時刻ではない。とすれば、t = 6 が正解だ。ボールは6秒後に着地する。
次に、物体Bが着地するのはいつだろうか。同様に解いてみる。
0 = 20 +0t -5t
2 答えは、t = -2, 2 となる。t = -2 というのはボールを離す前のことなので、無意味な答えだ。よって、着地時刻はt = 2が正解だ。つまり、ボールは2秒後に着地する。
ということは、その差が4秒なので、
解答：Aがボールを投げてから、4秒後にBが手放せば、同時に着地する。
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二次関数も、試験問題にしばしば登場する。そして、二次関数問題を解く場合、ほぼ確実に二次方程式の解を求める必要がある。
二次方程式の解の求め方は、大きく分けて二種類ある。
1つは解の公式だ。
ax
2+bx+c = 0
の解は、解の公式
-b±√(b
2-4ac)
x = -------------------
2a
で求められる。
次に、因数分解を利用して、二次方程式を
a(x - α)(x - β) = 0
のように書き換える。例えば、
2x
2 -x -2 = 0
を、
2(x - 2)(x + 1) = 0
と直すのだ。これによって、答えは
x = 2 or -1
とわかる。
では、(1)の解答から。
y = x
2 + 2x + 7 と y = -3x + 3 が交わるということは、同じxの値で、yの値も同じになるということだから、
x
2 + 2x + 7 = -3x + 3
とならなければいけない。この式を整理すると、
x
2 + 5x +4 = 0
となるので、解の公式に代入すると、
x = -1 or -4
となる。すなわち交点は、２カ所あって、
(-1 6) と (-4 15)
である。
次に(2)の解答だ。
解の公式を見ると、通常答えは２つ求まらなければおかしい。なのに答えが１つになるのはどういう時だろうか。
それは、ルートの中身が０になったときだ。この時は、２つの答えが両方とも同じになってしまうので、結局解は１つとなる。
では、(1)と同じようにして、式を立ててみると、
x
2 + 2x + 7 = ax +3
すなわち、
x
2 + (2 - a)x +4 = 0
だ。この方程式の解は、
-(2-a)±√((2-a)
2-16)
x = ----------------------------
2
となる。つまりルートの中身は、(2-a)
2 -16 であり、この値が０でなければならない。すなわち、
(2-a)
2 -16 = 0
である。整理すれば、
a
2 -4a -12 = 0
となる。これを二次方程式だと考えて、a の値を求めてみると、
a = -2 or 6
となり、この２つの値のどちらでも、２つの関数は１点で交わる。
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場合の数を求める問題。
この問題の肝は、いったい何の問題に帰着させるかってこと。
もちろん一番簡単なのは、一生懸命数えることだ。だが、それは明らかに面倒。
まず、一番一般的な方法で解いてみよう。それは、順列の問題として解くことだ。
(1)の解答
AからBまでは、全部で7歩。これは、どの道を通っても変化しない。そのうち、上への移動が3歩分、右への移動が4歩分ある。上への移動を"U"、右への移動を"R"とすると、移動経路は、
UUURRRR
とか
RUURRRU
といった、"U"が３つ、"R"が４つ入った文字の並びで表現される。
さて、7文字の順列は何種類あるか。
7P
7＝7×6×5×4×3×2×1＝5040
しかし、この中に"U"が3個あり、これは全て同じものなので、入れ替わっても変わらない。つまり、同じ文字列が、
3P
3＝3×2×1＝6
の6通りある。
さらに、"R"が4つあり、これも同じものなので入れ替わっても変わらない。つまり、同じ文字列が、
4P
4＝4×3×2×1＝24
の24通りある。
つまり、5040通りを、6通りと24通りで割る。
解答＝5040÷6÷24＝35
解答は、35通りだ。
(2)の解答
これの面倒なのは、「Cを通らない」という条件だ。だが、こういう場合は、確率を求める基本テクニックの「～でない場合」を使う。つまり、「Cを通る」ものを数えて、全体（35通りだと判っている）から引けばよい。
では、Cを通るにはどうすればよいのか。
まず、A～Cのコースの場合の数を求める。これは4歩であり、そのうち上が1歩、右が3歩だ。上の求め方を利用するなら、
4P
4÷(
1P
1×
3P
3)＝24÷(1×6)＝4
で、4通りある。
次に、C～Bのコースの場合の数はどうか。これは全部で3歩、上が2歩、右が1歩だ。
3P
3÷(
2P
2×
1P
1)＝6÷(2×1)＝3
で3通りだ。
つまり、Cを通ってAからBへ行くコースは、4×3＝12通りあるわけだ。
だから、全部で35通りから12通りを引けば、残るは23通り。
と言うわけで、Cを通らないコースは23通りである。
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